Кинематика

Кинематика в физике — раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика.

Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и релятивистскую. В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится так же одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и время вводится понятие пространства-времени, в котором инвариантным относительно преобразований Лоренца является величина, называемая интервалом.

 

История кинематики

Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению». [1]

Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.

В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.

После создания СТО, показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики (см. Релятивистская кинематика).

Основные понятия кинематики

  • Система отсчёта — сопоставленная с континуумом реальных или воображаемых тел отсчёта система координат и прибор(ы) для измерения времени (часы). Используется для описания движения.
  • Координаты — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.
  • Радиус-вектор используется для задания положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
  • Траектория — непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении.
  • Скорость — векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.
  • Ускорение — векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени.
  • Угловая скорость — векторная величина, характеризующая скорость вращения тела.
  • Угловое ускорение — величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости.

 

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движения рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

~ p_1 = f_1(t)
~ p_2 = f_2(t)
~ \dots
~ p_\mathrm{n} = f_\mathrm{n}(t),

где n определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции fi(t) должны быть однозначными. Так же в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела. [2]

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

 v_1 = \frac{d p_1 (t)}{dt}
 v_2 = \frac{d p_2 (t)}{dt}
~ \dots
 v_n = \frac{d p_n (t)}{dt}
 \vec v = v_1 \vec \tau_1 + v_2 \vec \tau_2 + .... + v_n \vec \tau_n ,

где \vec \tau_i — единичные векторы, направленые вдоль соответсвующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

\vec a = {d{\vec v (t)} \over dt}

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

 

Деление кинематики по типам объектам исследования

В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точки, кинематику твёрдого тела, кинематику деформируемого тела, кинематику газа, кинематику жидкости и т. д.

 

Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно по сравнению с характерными размерами изучаемого явления можно пренебречь. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.

Частные случаи движения в кинематике точки:

  • Если ускорение равно нулю, движение прямолинейное (траектория представляет из себя прямую) и равномерное (скорость постоянна).
\vec a = 0
\vec v = \mathrm const
~ p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 t
~ p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 t
~ \dots
~ p_n (t) = p_n (0) + v_n t
 s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 ) ,

где s — длина пути траектории за промежуток времени от t2 до t1, ~ v_1, v_2, \dots, v_n — проекции \vec v на соответствующие оси координат.

  • Если ускорение постоянно и лежит в одной прямой со скоростью, движение прямолинейное, равнопеременное (равноускоренное, если ускорение и скорость направлены в одном направление; равнозамедленное — если в разные).
 \vec a = \mathrm const
 \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t
 p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 (0) t + \frac {a_1 t^2} {2}
 p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 (0) t + \frac {a_2 t^2} {2}
~ \dots
 p_n (t) = p_n (0) + v_n (0) t + \frac {a_n t^2} {2}
 s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt ,

где s — длина пути траектории за промежуток времени от t2 до t1, ~ v_1, v_2, \dots, v_n — проекции \vec v на соответствующие оси координат, ~ a_1, a_2, \dots, a_n — проекции \vec a на соответствующие оси координат.

  • Если ускорение постоянно и перпендикулярно скорости, движение происходит по окружности — вращательное движение.
 \vec a \perp \vec v
 \mid \vec a \mid = \frac { {\mid \vec v \mid }^2} {R}
 s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 ) ,

где R — радиус окружности, по которой движется тело.

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y и x лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:

 y = R \sin \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arcsin \Big(\frac{y(0)}{R}\Big) \Bigg)
 x = R \cos \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arccos \Big(\frac{x(0)}{R}\Big) \Bigg)
~ z = 0

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

  • Если ускорение постоянно и не лежит на одной прямой с начальной скоростью, движение параболическое.
 \vec a = \mathrm const
 \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t
 s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы ускорение и начальная скорость лежали в плоскости xy и ускорение было сонаправленно с осью y, то значения координат можно вычислить по формулам:

 y (t) = y (0) + v_y (0) t + \frac{\mid \vec a \mid t^2}{2}
~ x (t) = x (0) + v_x (0) t
~ z = 0 ,

где ~ v_y и ~ v_x — проекции ~ \vec v на соответствующие оси.

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

  • Если тело выполняет разные движения в разных направлениях, то эти движения могут рассчитываться отдельно и складываться по принципу суперпозиции. Например, если в одной плоскости тело совершает вращательное движение, а по оси, перпендикулярной этой плоскости — равномерное поступательное, то вид движения — винтовая линия с постоянным шагом.
  • В общем виде скорость, ускорение и координаты вычисляются по общим формулам (см. задачи кинематики, путь вычисляется по формуле:
 s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt

 

Кинематика твёрдого тела

Кинематика твёрдого тела изучает движение абсолютно твёрдых тел (тел, расстояние между двумя любыми точками которого не может изменятся).

Так как любое тело ненулевого объёма имеет бесконечное число точек, и соответственно бесконечное число фиксированных связей между ними, тело имеет 6 степеней свободы и его положение в пространстве определяется шестью координатами (если нет дополнительных условий).

Связь скорости двух точек твердого тела выражается через формулу Эйлера:

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB},

где \vec{\omega} — вектор угловой скорости тела.

 

Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости

Кинематика деформируемого тела и кинематика жидкости относятся к кинематике непрерывной среды.

В рамках данного раздела кинематики рассматривается общая теория деформации среды и определяются уравнения непрерывности, отражающие неразрывность среды.

 

Кинематика газа

Кинематика газа изучает деление газа на скопления при движение и описывает движение этих скоплений. В рамках кинематики газа описываются не только основные параметры движения, но и типы движения газа.

Difficult sentences

Till,     until,     that,     if,     as soon as,     when,     before,     after. Till(тил) = До (какого-то времени). Until(антил) = До (того как что-то случится). That(д'эт) = Что. If(иф) = Если. As soon as(эс сун эс) = Как только. When(уэн) = Когда. Before(бэфор) = Перед. After(афтэр) = После. Сложное предложение состоит из главного и придаточного предложении : Придаточное предложение поясняет ...

Future in the past tense

Будущее в прошедшем времени используется, когда речь идёт о действии, которое последует за прошедшим действием. То есть будущее по отношению к прошлому : Для образования будущего по отношению к прошлому используется вспомогательные глаголы 'should/ would' для первого лица и 'would' для всех остальных лиц + инфинитив без 'to' : I didn't know that you would get home soon = Я не знал, что вы скоро придёте домой скоро ...

Past perfect

Прошедшее время группы 'perfect' используется, когда речь идёт о действии, которое уже произошло до определённого момента в прошлом и это действие связанно с этим моментом, а не с моментом речи (то есть с настоящим моментом). Прошедшее время группы 'perfect' образуется при помощи глагола 'to have/ had' : I heard that he had left New York = Я слышал, что он оставил Нью-Йорк. I had read the book by five o'clock yesterday = Вчера я ...

Развитие эволюционной картины Вселенной

Подобно тому, как в XVII в. рывок в развитии теоретической механики привел к созданию механики неба и к построению новой, гравитационной механической картины Вселенной, успехи в термодинамике, теории излучения, спектроскопии уже во второй половине XIX в. дали стимул к изучению физики небесных тел, или астрофизики. Складывался новый аспект астрономической, точнее, ...